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1.解：连接BQ

∵∠ACB与∠AQB同对弧AB，∴∠ACB=∠AQB

又∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC

∴∠AQB=∠ABP

∵∠BAQ=∠PAB，

∴△AQB∽△ABP，可得

AQ/AB=AB/AP ，

即AB?=AP*AQ

∵AB=5√3，AQ：QP=1：2，

∴（5√3）?=|AP|*（|AP|/3），即AP?=225，可得AP=15

2.解：如下图所示：

∵∠PAB=30°，由弦切角定理

∴∠ACB=30°

（或者连接OA，则∠OAB=90-30=60度，∠OAC=90-60=30度，故∠ACB=∠OAC=30度）

∵BC是圆O的直径，

且AC=√3，

∴直径BC=2，半径为1，

∴圆O的面积为π．