独木桥（青蛙过河）问题思考

题目描述

在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0，1，……，L（其中L是桥的长度）。坐标为0的点表示桥的起点，坐标为L的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是S到T之间的任意正整数（包括S,T）。当青蛙跳到或跳过坐标为L的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。

题目给出独木桥的长度L，青蛙跳跃的距离范围S,T，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。

对于30%的数据，L?<=?10000；对于全部的数据，L?<=?10^9。<=?10^9<=?10^9<=?10^9<=?10^9<=?10^9<=?10^9=?10^9

输入

输入的第一行有一个正整数L（1?<=?l?<=?10^9），表示独木桥的长度。第二行有三个正整数S，T，M，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离，及桥上石子的个数，其中1?<=?s?<=?t?<=?10，1?<=?m?<=?100。第三行有M个不同的正整数分别表示这M个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。<=?m?<=?100<=?m?<=?100<=?m?<=?100<=?m?<=?100<=?m?<=?100<=?m?<=?100=?M?<=?100

问题算法本身不难，一个从后往前反向求出起点最小石子个数的动态规划问题，搜索青蛙过河，网上可以找到很多帖子。不过只这么做是不够的，首先数据量大的时候，内存直接爆了，所以需要压缩数据，片段化处理；另一个就是一个特殊情况， 如果青蛙最小步数和最大步数相等时，直接计算 即可。

这里主要记录下我自己是怎么压缩的，思路主要是这样，首先对石子位置进行排序，然后从后往前遍历，如果发现两个石子之间距离过长，那么就以后一个石子为开头得到一个片段；然后计算经过这个片段的最小石子个数。最终整个独木桥的最小石子个数，就是所有片段结果之和。

那么现在的问题就是，怎么才算石子之间的距离足够长。如果前maxStep个数已经都一样了，那么再怎么往前推，都是一个数了；而多长的距离能够保证前面的数都变成最小值，我的想法比较简单粗暴，跟冒泡排序的想法有点接近，就是假设最后一个值（maxStep-1位置上的值）是最小值，那么它每一轮往前移动（maxStep-minStep）个位置，直接假定每一轮的长度为maxStep，所以它移动到第一个位置需要（maxStep - 1）*maxStep/(maxStep-minStep)。所以，如果两个石子之间的距离超过这个值，那么直接算出这个片段每个位置的最小石子数，然后取前面maxStep个值的最小值。

最后，如果到了最开始的片段，如果第一个石子离起点还是足够远，可以一样计算，但是，如果第一个石子离起点很近的时候，直接计算到起点的最小石子数即可。