环的简介

在非空集合R中，若定义了两种代数运算+和（不一定为加与乘），且满足：

Axiom1:集合R在+运算下构成阿贝尔群(Abel group).

Axiom2:关于有结合律，即，.R对构成一个半群。

Axiom3:分配律与结合律对成立，即，有：

称代数系统是一个环(Ring)。在不引起混淆的情况下，简记为.

上加法群的单位元称为零元，记为0，且对有.

若只满足Axiom1和Axiom3，而不满足Axiom2的结合律，则R称为一个非结合环。此时R中就有唯一的零元素θ，使得对α∈R恒有α+θ=α；R中每个α有唯一的负元素-α，使α+（-α）=θ，可简记α+（-b）为α-b。分配律可推广为：α（b±с）=αb±αс，（b±с）α=bα±сα；用数学归纳法可证：

在非结合环R中恒有：αθ=θα=θ；α（-b）=（-α）b=-αb；（-α）（-b）=αb；（nα）b=α（nb）=nαb，其中α、b为R中任意元素，n为任意整数。

如果非结合环R还具有性质：α2=θ（α∈R），且雅可比恒等式成立，即在R中恒有（αb）с+（bс）α+（сα）b=θ，那么R称为一个Lie环。

如果非结合环R的乘法适合交换律，且在R中恒有：（αα）b，α=（αα）（bα），那么R称为一个若尔当环。

在非结合环的研究中，李环与若尔当环是内容最丰富的两个分支。如果非结合环R的乘法适合结合律，那么R称为一个结合环或环。如果在环R中再规定如下的一个新乘法“。”（称为换位运算）：α。b=αb-bα，那么R对原来的加法与新有的乘法是一个李环；若规定的新乘法为“·”（称为对称运算）：α·b=αb+bα，则R便成一个若尔当环。

设S是非结合环R的一个非空子集，若对于R的加法与乘法，S也构成一个非结合环，则S称为R的一个子环。一个真正的非结合环（即其中有三个元素在相乘时不适合结合律）的一个子环，有可能是一个结合环。非结合环R的若干个子环的交，仍是R的一个子环。当T为R的一个非空子集时，R中所有含T的子环的交显然是R中含T的最小子环，称之为R的由T生成的子环。如果非结合环R中任意三个元素生成的子环恒为结合环，那么R已经是一个结合环；如果R中任意两个元素生成的子环恒为结合环，那么R称为一个交错环；

如果R中任意一个元素生成的子环恒为结合环，那么R称为一个幂结合环。在幂结合环中，第一、第二指数定律即：恒成立。

如果一个交错环的乘法还适合交换律，那么它称为一个交错交换环。在交错交换环中，不仅有第一、第二指数定律成立，而且有第三指数定律即：（n是任意正整数）成立；还有二项式定理。

结合环与交换环的典型例子如：F上的n阶全阵环，即数域（或域）F上的所有n阶矩阵在矩阵的加法与乘法下构成的一个环；V的完全线性变换环，即F上的一个向量空间V的全部线性变换在变换的加法与乘法下构成的一个环；F上的多项式环，即F上一个或若干个文字的多项式全体构成的一个交换环。整数环，即全体整数构成的一个交换环；全体偶数构成它的一个子环，称为偶数环；R上的n阶全阵环，即在任意一个环R上的全部n阶矩阵，对于仿通常矩阵的运算定义的加法与乘法构成的环，记为Rn；0,1上的全实函数环，即定义在区间0,1上的全部实函数，对于函数的加法与乘法构成的一个交换环；整数模n的环，即模n剩余类，对于剩余类的加法和乘法构成的一个交换环。它是只含有限个元素的交换环的典型例子。

若一个环R中含有一个非零元素e≠θ，使对每个x∈R有ex=xe=x，则e称为R的一个单位元素。一个环若有单位元素，则它必然是唯一的。设R是一个含有单位元素的环，α是R中一个元素，若R中有元素b，使αb=bα=e，则b称为α的一个逆元素。当α有逆元素时，其逆元素必然是唯一的，记为α-1，α-1也有逆元素，而且就是α，即（α-1）-1=α。R的零元素θ必无逆元素。若R的每个非零元素都有逆元素，则R称为一个体或可除环。四元数代数就是典型的体。在体的定义中再规定其乘法适合交换律，就是域的定义。