莫比乌斯带和莫比斯尔环有什么不同？

为方便说明，可以取一条纸带（长条状即可）拉平，将纸带的一端扭（窄端）扭转180度，再将两个窄端粘接起来——这就成了一圈有名的数学模型-「莫比斯环」（Moebius Strip）。这就是公元1858年，德国数学家莫比乌斯（Mobius，1790～1868）的发现：把一个扭转180°后再两头粘接起来的纸条，具有魔术般的性质。\x0d\\x0d\ 莫比斯环不同於一般的纸环，因为它呈现出一个无尽的空间：一般的纸环有内外两面，内环和外环的长度都是有限的，容易测度出来；然而，莫比斯环的内外环长度却无法测知，因为它的内环的极限就是外环，而外环的极限是内环，两个看似不同的平面就这般融媾合一。莫比斯环乍看之下有两个面，两个面却是同一个，不分内外，没有终结。 \x0d\\x0d\ 从一般的纸环的中央剪开，纸环便会一分为二，两个新纸环的周长和原版纸环一样，整个过程就像细胞分裂。可是莫比斯环就不同了：从它宽度的二分之一处剪开，它不会分成两个，而是膨胀为一个放大的莫比斯环；如果从它宽度的三分之一处剪开，它就会分成二个，只是大小不一，而且完美地扣合在一起，更是奇怪。因此，莫比斯环不会分化为两圈独立的个体，而只会膨大，或是变成母女般（或母子般，或父子般）相依偎的大小连体。 有趣的是：新得到的这个较长的纸圈，本身却是一个双侧曲面，它的两条边界自身虽不打结，但却相互套在一起！为了让读者直观地看到这一不太容易想象出来的事实，我们可以把上述纸圈，再一次沿中线剪开，这回可真的一分为二了！得到的是两条互相套着的纸圈，而原先的两条边界，则分别包含于两条纸圈之中，只是每条纸圈本身并不打结罢了。\x0d\ \x0d\ 莫比斯环有一条非常明显的边界。这似乎是一种美中不足。公元1882年，另一位德国数学家克莱茵（Klein，1849～1925），终于找到了一种自我封闭而没有明显边界的模型，称为“克莱茵瓶”。这种怪瓶实际上可以看作是由一对莫比斯环，沿边界粘合而成。因而克莱茵瓶比莫比斯环更具一般性。\x0d\\x0d\我们可以说一个球有两个面--外面和内面，如果一只蚂蚁在一个球的外表面上爬行，那么如果它不在球面上咬一个洞，就无法爬到内表面上去。轮胎面也是一样，有内外表面之分。但是克莱因瓶却不同，我们很容易想象，一只爬在"瓶外"的蚂蚁，可以轻松地通过瓶颈而爬到"瓶内"去--事实上克莱因瓶并无内外之分！在数学上，我们称克莱因瓶是一个不可定向的二维紧致流型，而球面或轮胎面是可定向的二维紧致流型。