十二平均音乐定律

要介绍十二平均律的集合，首先要介绍十二平均律是什么。要介绍“十二平均律”，首先要介绍什么是“律”。“节奏”，即“音准”，是指人们为了规范音乐而刻意选择的一组高低不同的音符组成的系统，以及这些音符之间的关系。比如我们都知道的do、re、mi、fa、so、la、si，这七个音就形成了一套音律。性情之学，谓之“性情”。也就是说，研究为什么选择do、re、mi……等七个音(当然也可以选择其他音)作为规范，这些被视为“音阶”的音是如何产生的，它们之间有什么关系，是一门学问。对于任何一个民族来说，只要有丰富的音乐经验，想要积累关于音乐的知识，迟早都会遇到关于法律的问题。令人惊讶的是，古今不同的民族，虽然各自喜爱的音乐形式可谓五光十色，异彩纷呈，互不借鉴，但大家法学的基本概念却惊人的相似。这可能是音乐本身的超文化、超地域魅力造成的。(BTW: do，re，mi，fa，so，la，si，这些看似毫无意义的词，其实是中世纪在西方教会中非常流行的一些拉丁圣咏的第一个音节。这些圣歌是现代西方音乐的来源。学过高中物理的人都知道，声音的本质是空气的振动。空气的振动以波的形式传播，这种形式称为声波。所有波(包括声波、电磁波等。)有三个最本质的特征:频率/波长、振幅和相位。对于声音来说，声波的频率(声学上一般不考虑波长)决定了声音有多“高”，声波的振幅决定了声音有多“响”，而人耳对声波的相位并不敏感，所以研究音乐一般不考虑声波的相位。当然，法律不考虑声音有多大，所以法律研究的重点是声波的频率。一般来说，人耳能听到的声波频率范围在20HZ(每秒20次振动)到20000HZ(每秒20000次振动)之间。声波的频率越大(每秒振动越多)，声音就越高。20HZ以下的频率称为次声，20000HZ以上的频率称为超声波。(BTW:人耳能分辨的最小频差是2HZ。比如，人能听出100HZ和102HZ的区别，却听不出100HZ和101HZ的区别。此外，由于以下原因，人耳在高音区的分辨率迅速下降。需要指出的是，人耳对声波的频率是指数敏感的。例如，100赫兹、200赫兹、300赫兹、400赫兹的声音……...人们并不认为它们是“等距”的，而是认为越往后，声音之间的“距离”就越近。100赫兹，200赫兹，400赫兹，800赫兹……...这些声音让人觉得“等距”(不知道为什么)。换句话说，如果某一组声音的频率严格按照×1，×2，×4，× 8的规律排列...，也就是说，它们听起来像一个“算术音高序列”。(例如，这里有16个音调，它们的频率分别是110HZ 1次、2次、3次...16次。你可以听听，感觉是不是声音越高，距离越近。用音乐术语来说，这些声音都是110HZ的“谐波”，即这些声波的频率是某一频率的整数倍。这个ogg文件可以用暴风影音//StormCodec软件试听。)由于人耳对指数频率比较敏感，所以上面提到的“x 2表示距离相等”的关系是音乐中最基本的关系。在音乐术语中，×2是一个八度。上面说的do、re、mi中的do，和so、la、si之后的高音do是八度关系。换句话说，高音do的频率是do的两倍。同样，re和高音re之间也有一个八度的关系，高音re的频率是re的两倍。高音do之上的高音do，其频率是do的四倍。也可以说两者之间有两个“八度”。很明显，一个音的所有八度都是它的谐音，但不是所有的谐音都是它自己的八度。自然，用do、re、mi写的歌，如果用高音do、高音re、高音mi写，听众只会觉得声音变高了，旋律本身不会变。这种对等实际上是“等音高序列”的直接结果。全世界的人都发现了“八度”的重要性。例如，在中国浙江河姆渡遗址出土了一支有9000年历史的笛子(由鹤腿骨制成)。它能演奏八个音符，包括一个八度。当然这个八度不会是从do到高音do，因为只要一个音的频率是另一个音的两倍，它们就是八度的关系，和具体一个音多高没有关系。理解八度的重要性。先说一个八度以内哪些音比较重要。这其实是法理学的中心问题。也就是说，如果某个声音的频率是F，那么我们应该在F和2F之间寻找那些重要的频率。如果你有学习弦乐器(如吉他、古琴、小提琴)的经验，你会知道它们能发出声音是因为弦的振动。弦的振动与弦的长度有关。如果一根弦振动，我们用手指按住弦的中点，也就是原来完全振动的弦变成了两根长度为1/2的弦振动，我们会听到更高的音。这个声音和原声的关系就是八度。因为物理上，弦的振动频率和它的长度成反比。由于弦乐器是世界上发展最早的乐器类型之一，这种现象对古人来说早已耳熟能详。他们自然会想:如果在弦乐器上只需按中点就能实现八度2:1的关系，那么如果你试着按其他位置会怎么样？数学上，2:1是最简单的比例关系，简单程度仅次于3:1。那么，如果我们按住字符串的1/3点会发生什么？结果，琴弦发出两个更高的音符。一个声音的频率是三倍(因为弦长是1/3)，另一个声音是三倍(因为弦长是三分之二)。这两个音相互之间也是一个八度的关系(因为它们的弦长比是2:1)。这样，第一个重要的频率3/2F就出现在我们要寻找的F ~ 2f范围内。(那个3F的频率正好在下一个八度的同一位置，也就是2f到4f。)然后再试一次。数学上，简单程度仅次于3:1，也就是4:1。我们试试和弦的1/4点。还有两种声音。一个声音的频率是原声的四倍(因为弦长变成了1/4)，离原声差了两个八度(术语叫“主音”)，可以不管。另一个音符的频率是主音的4/3倍(因为弦长是原来的3/4)。现在我们有了另一个重要的频率，4/3F。同一根弦，在不同的条件下振动，可以发出多种频率的声音。听觉上，与主音f最和谐的是3/2F和4/3F(主音八度除外)。这个现象也被很多民族发现了。比如最早用数学方法研究弦的振动的古希腊哲学家毕达哥拉斯(约公元前6世纪)。中国先秦时期的《管子·元帝篇》和《吕春秋·曲篇》中也记载了所谓的“三分盈亏法”。具体来说，取一个和弦，“三分减一”，即把和弦平均分成三段，舍一留二，得3/2F。如果“三点成一”，即把弦分成三段，再加一段，就得到4/3F。得到这两个频率后，是不是还要继续寻找1/5点，1/6点等等？不会，因为这些音和主音之间的和声远不如3/2F和4/3F。事实上，4/3F的和声比3/2F的和声低得多。古人于是改了一个方法。在找到了与主音f最和谐的3/2F之后，他们转向了3/2F的3/2F，也就是与最和谐的那个音最和谐的音，从而得到了(3/2)2F，也就是9/4F。但这已经超出了2F的范围，进入了下一个八度。没关系，不是有“等音高序列”吗？下一个八度中的声音，当然在这个八度中有等价的声音，所以9/4F的频率减半，得到9/8F。然后重复这个过程，找到3/2的三次方，于是就有了27/8F，在下一个八度中也再次减半，得到27/16F。就这么周而复始的一直找？不会，因为这个循环会没完没了。我们理想的情况是，经过一定的循环，我们会得到一个八度的主音，这样我们就可以“回归”到主音，而不必继续寻找。但是(3/2)n，只要n是自然数，结果就不是整数，更不是2的幂。所有法律的麻烦都开始了。数学上不可能的，只能用数学来解决。古人的策略是“近似”。他们注意到(3/2)5≈7.59非常接近23 = 8，于是他们认定这个音是他们要找的最后一个音，比这个音高一点的是主音的第三个八度。这样，从主音f开始，我们只需要将“按照3/2的比例寻找最和谐的音”的过程循环五次，就得到五个音，加上主音和4/3F，一共七个音。这就是为什么我们应该用do、re、mi等七个音，而不是六个或八个音。这七个音符的频率分别是F，9/8F，81/64F，4/3F，3/2F，27/16F，243/128F。如果这里的F是do，那么9/8F是re，81/64F是mi……...这七个频率组成了七个声级。这七种声调都有自己的正式名称。在西方音乐术语中，它们分别被称为主音、超音、中音、次属音、属音、中音和导音。其中，第五“主音”so和第四“从属音”fa与主音的关系最为密切，因为它们与主音之间的和声分别是第一和第二高。因为这个旋律主要来源于“主导音”so，也就是3/2F，而3/2的比例在西方音乐术语中被称为“纯五度”，所以这个旋律被称为“五度律”。古希腊的毕达哥拉斯最早在西方提出了五度律(所以西方按照3/2的比例定调的做法叫毕达哥拉斯调律)，东方是《管子》的作者(不一定是管仲本人)。中国历代的旋律大多也是从“三分盈亏律”发展而来，也可以认为是“五度律”。如果我们仔细观察上面五度律中七个音的频率，可以发现它们之间的关系非常简单:Do ~ Re、Re ~ Mi、Fa ~ So、So ~ La、La ~ Si之间的频率比为9:8，称为声调；mi ~ fa和si ~ do的频率比为256:243，称为半音。由“五度互律”产生的七音音阶，自诞生以来就不断受到批评。原因之一就是太复杂了。我之前说过，如果你按住弦的1/5点或者1/6点，你得到的声音和主音不是很和谐。现在有81/64，243/128这样的比例。这是不是太好看了？于是有人开始调整这七个音的频率，于是就出现了“只是语调”。“纯法”的重点是使每个音尽可能与主音和谐，也就是说，使每个音与主音之间的频率比尽可能简单。“纯粹法”的发明者是古希腊学者塔伦图姆(今意大利南部塔伦图)的阿里斯托塞努斯。东方似乎还没有人独立提出“纯粹法”的概念。)这个人是亚里士多德的学生，生活在公元前3世纪。他的理论重点是靠耳朵，而不是数学来主导音乐。他的著作留下来的只是片段，但可以确定的是，他最早提出了所谓的“自然尺度”。全音阶也有七个音，但与“五度律”的七音音阶有很大不同。七个自然音阶的频率分别是:f，9/8F，5/4F，4/3F，3/2F，5/3F，15/8F。真的简单多了不是吗？真的好多了。这么简单的比例就是“纯法”。可见，“纯粹法”不仅用3/2的比例，也用5/4的比例。新的7个频率分别是5/4F，5/3 (= 5/4× 4/3) f，15/8 (= 5/4× 3/2) f，虽然“纯律”的7音音阶比“五音律”的7音音阶好，数学上更简单，但也有很大的问题。虽然每个音与主音的比例变得简单了，但音与音之间的关系却变得复杂了。原来五声音律的七个音之间只有两种比例关系，即“全音”和“半音”，现在有三种:9:8(叫“大调”，就是原来的“全音”)和10:9(叫“小调”)。你可以通过将全音阶的频率彼此相除得到这个结果。再者，如果在全音阶中比较re和fa，频率比是27/32，那就没那么简单好听了！所以“纯粹法”修改为“五度法”是不完全的。事实上，“纯法律”远不如“五度法律”受欢迎。五度定律的另一个修正来自另一个方向。还记得你为什么记了七个音符吗？因为(3/2)5≈7.59非常接近23 = 8。但这毕竟是近似的，不是完全相等的。一个八度以内，这么小的差距可能不算什么，但是如果乐器的音域跨越了几个八度，那么这个近似就不太好了。于是人们开始寻找更好的近似。古人通过计算发现(3/2)12≈129.7非常接近27 = 128，于是将“五度互律”中“按3/2的比例寻找最和谐的声音”循环重复了12次，认为达到了主题。加上原来的主音和4/3F，现在有12个音符。请注意，目前的“标准”音阶不是七音，如do、re、mi……...但是12笔记。由这个修正后的“五度律”衍生出的12音级，其频率分别为F，2187/2046F，9/8F，19683/16384F，81/64F。对比之前的“五度互律”的七个声调，可以发现原来的七个声调还在，只是中间多插了五个。使用正式的音乐术语来称呼原来的七个音符，即C、D、E、F、G、A和b。这五个新音符称为C#(发音为“升C”)、D#、F#、G#和A#。12音阶现在不能叫do、re、mi，应该叫C、C#、D、D#、e、F、F#、G、G#、A、A#和b，把两个相邻音符的频率互相除以，你会发现它们之间只有两个比例:256:243(原来的“半音”，也叫“自然半音”)和2187:2048(这叫“变化半音”)。换句话说，这12个音符几乎构成了一个“等音高序列”。它们之间的距离几乎相等。(当然，如果相邻两个音符之间只有一个比值，严格来说等于“距离”。原来的七音音阶中，C ~ D、D ~ E、F ~ G、G ~ A、A ~ B是用一个全音隔开的，现在认为是用两个半音隔开的。这就是“全部”和“一半”这个术语的基础。由于C#被认为是来自C的半音，C#也可以被认为是来自D的半音，所以C#和Db(读作“D”)被认为是等价的。其实新加的五个音符也可以写成:Db，Eb，Gb，Ab，Bb。我只需要举一个例子来说明这个12音级在音乐界的地位。钢琴上所有的白键对应的都是原来7音阶中的C，D … B，所有的黑键对应的都是12音阶中新加入的C#，Eb…Bb。从7音级发展到12音级的实践在西方和东方很早就出现了。其实《管子》中已经提出了12调值，后来的中国音律大多是以“五度律”的12调值为基础的。毕达哥拉斯学派也提出了这个12音级。但是西方直到中世纪晚期才重新发现它们。能否进一步发展五度律的12音级？是的，你可以。12的声级基于(3/2)12≈129.7，非常接近27 = 128。按照这个思路，继续找接近的值就行了。真的有人找到了，这个人就是方婧(公元前77年-公元前47年)，中国西汉时期的著名学者。他发现(3/2)53≈2.151×109也非常接近231≈2.147×109，于是他提出了53音阶的新旋律。要知道，古人现在还没有我们的计算器，他们要计算这么高的幂次问题还挺麻烦的。当然，方静的新法律并不受欢迎，因为53秤太麻烦了！刚开始学音乐就记住这么多音符。谁会感兴趣？不过这种努力还是值得肯定的，这也说明12的声音水平并不完美，确实需要提高。五声音阶律12音阶的主要问题是相邻音(自然半音和可变半音)的频率比是两个，而不是一个。而且两个半音差距也不小。(2187:2048)/(256:243)≈1.014。看起来差不多，是吧？但是自然半音本身是256:243≈1.053。如果12的音级是真正的“等音高序列”，那么每个半音应该是相等的，每个音阶应该是“等距”的。换句话说，12的真实音级可以把一个八度分成12。为什么强调「等分」和「等距离」？因为在音乐发展的过程中，人们越来越觉得需要“调音”。所谓变调，其实就是用不同的音高唱同一个旋律。比如一个人的音域是C ~高音C(也就是前面的do ~高音do)，为了给他伴奏，乐器就得演奏C ~高音C以内的旋律；如果另一个人的音域是D ~高音D(也就是前面的re ~高音re)，乐器就得演奏D ~高音D内的旋律，而五度律的12音阶根本不是“等音高序列”，人们会认为C ~高音C内的旋律和D ~高音D内的旋律是不一样的，特别是如果旋律涉及到更多的半音，这种不和谐就会很明显。可以说，如果每个键的音高都是由五度定律决定的，那么只要旋律中有很多黑键参与，弹出的效果就会一塌糊涂。这个问题在弦乐器上很容易解决，因为弦乐器的音高是由手指的按压决定的。演奏者可以根据不同音域和旋律的要求，通过故意按弦而不是按在指定的手指位置来解决问题。但是，键盘乐器(如钢琴、管风琴、大键琴等)的音高。)是固定的，暂时不能调整。所以在西方中世纪的乐理中，规定了有些曲调，有些声音不能用，有些旋律不能写。在一些教堂的管风琴中，为了应对各种可能出现的情况，提前准备了很多额外的音管。以至于有些器官有几百个甚至上万个音管。一方面作曲家觉得受到限制，另一方面演奏者觉得演奏起来太麻烦。问题的根源还是在于近似。毕竟“五度定律”所依据的(3/2)12并不完全等于27。之所以有两个半音，就是这种近似造成的。对“五度互律”12声级的进一步修改，东西方也走了类似的路线。比如东晋的何承天(公元370年-公元447年)把(3/2)12和27之间的差距分成12，并累计展开到12的刻度，产生了一个等差数列。可惜这只是一种修补工作，并没有从根本上解决问题。西方的做法是把(3/2)12和27之间的间隙摊到其他音符上。但为了保证主音c和属音g的比例关系(这个“纯五度”是一个音阶中最重要的和声，即使在12音级中也是如此)，这种分散注定是不均匀的，最好的结果是12音中至少有一个“走调”。如果把差距展开到12的音阶，就必须破坏C和G之间的“纯五次”和C和F之间的4/3比例(术语是“纯四次”)。这样虽然调音方便，但代价是尺度不再像以前那么好。因为一个八度内最和谐的两个关系——纯五度和纯四度——都被破坏了。直到文艺复兴时期，西方音乐圈盛行的规律叫“中庸一节制”，就是在保证尽可能不影响纯五度和纯四度的前提下，把(3/2)12和27之间的间隙尽量分配到12音符上。这个妥协只是无奈的妥协，大家其实都在等待新的旋律出现。终于有人想出了一个完整的解决方案。一个八度不是12份吗？为什么不直接开2:1的12次方的比例关系呢？换句话说，真正的半音比应该是21/12。如果12音阶中第一个音符的频率是F，那么第二个音符的频率是21/12F，第三个音符是22/12F，第四个音符是23/12F，...，第十二注是21658。这就彻底解决了“转”的问题。有了这种新的旋律，从任何声音中弹出的旋律都可以复制到任何其他音高，而不会影响旋律。在西方巴洛克音乐中，复调音乐偏爱多声部。有了这个新旋律，可以说不再有障碍了。后来的古典音乐也间接受益匪浅。可以说，如果没有这种新的旋律，古典主义者和浪漫主义者就不可能在后来探索各种音乐调性。这种新旋律被称为“十二平均节奏”。它首先是由一个名叫朱载堉的中国人发明的。他生于1536，死于1611。他利用算盘计算平方根的方法，首次计算出十二平均律的正确半音比例(难度可想而知)，其成果可见于他的著作《律新论》。可惜他的发明和中国古代的其他伟大发明一样，被埋没在历史的尘埃里，鲜为后人所知。西方人提出“十二平均律”，比朱载堉晚了50年左右。但很快就传播开来，流行开来。主要原因是西方音乐界迫切要求解决变调问题。当然，反对“十二平均律”的声音也不少。主要的反对意见是“十二平均律”破坏了纯粹的五度和四度。然而，这种损害的程度并不十分明显。“十二平均律”12声级的频率(近似值)分别为:F(C)，1.335F(F (c #/db)，1.122F(D)，1.189f。1.414F(F#/Gb)、1.498F(G)、1.587F(G#/Ab)、1.682F(A)、1.782F(A#/Bb)、1.888F(B)。注意现在所有的半音都是一样的，都是21/12，也就是1.059。自然半音和可变半音的区别已经没有了。另外，在原来的五度律12标度中，C和G的比例是3/2(即纯五度)，而现在在十二平均律12标度中，C和G的比例是1.498，也就是原来的五度律12标度中的3/2 (65438+)，C和F的比例是4/3(即纯现在，在十二平均律的12标度中，C与F的比值是1.335，也就是4/3 (1.335)因此，十二平均律基本上保留了五平均律最重要的特征。再加上完美的解决了变调的问题，所以后来“十二平均律”基本取代了“五度律”的主导地位。目前钢琴是根据“十二平均律”来确定每个键的音高的。现在学生正在学的do、re、mi也是根据“十二平均律”修改的七个声调。现在要想听“五度律”或者“纯法”的do、re、mi，已经很难了。BTW:目前钢琴的音高标准是由“中央C”(俗称do)右侧第五个白键(按专业术语是A4)的频率决定的。这个A键的频率确定为440HZ。确定了它，就可以类比“十二平均律”得出钢琴上其他键的频率。但是，在某些国家(如东欧)，此键的频率设置为444HZ。从历史上看，这种A债券的标准已经改变了很多次。比如1759年，英国剑桥大学三一学院管风琴的A调就曾被设定为309HZ。你可以想象我们在这里听到的旋律和现在听到的旋律有多么不同。在研究古代音乐家的作品时，研究当时的音高标准也是一个重要的部分。音高标准的历史变迁，请参考这里。关于“十二平均律”，我最后要提的是所谓的“大调”和“小调”。12标度与原7标度的关系，自“五度生辰纲”提出以来，一直在研究。也就是说，除了原来的七个音阶，现在人们可以选择12音阶中的其他七个音作为音乐的“尺子”。这可以给作曲家更大的创作自由。以C ~高音C的八度为例。如果选择原来的7个音阶，即C、D、E、F、G、A、B，则称为“大调音阶”，又因为这个大调的主音是C，所以称为“c大调”。而如果我们选择C，D，D#(Eb)，F，G，G#(Ab)，A#(Bb)，就叫做“C小调音阶”。使用小写c的原因是为了表明它是一个小调。大调和小调的区别在于大小音的“距离感”不同，根据它们作曲给听众的感受也不同。这给了作曲家用音乐表达不同情感的机会。在西方中世纪乐理中，提出了八种不同的方法，从12个音中选取七个音作为基准，包括我们现在说的大调和小调。当时的乐理给这八个调式赋予了不同的情感色彩，比如，有的被认为是“悲伤”，有的被认为是“快乐”，有的被认为是“精力充沛”等等。这八个调性有些现在已经很少用了，最流行的是大调和小调。由于“十二平均律”允许任意变调，作曲家可以更自由地创作。在过去，由于音符之间半音的“不等距离”，一些被认为不可能书写的音符现在可以无障碍地创作出来。