求详细准确的正17边形尺规作图方法,

步骤一：

给一圆O,作两垂直的直径OA、OB,

在OB上作C点使OC＝1/4OB,

作D点使∠OCD＝1/4∠OCA

作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度

步骤二：

作AE中点M,并以M为圆心作一圆过A点,

此圆交OB于F点,再以D为圆心,作一圆

过F点,此圆交直线OA于G4和G6两点.

步骤三：

过G4作OA垂直线交圆O于P4,

过G6作OA垂直线交圆O于P6,

则以圆O为基准圆,A为正十七边形之第一顶点,

P4为第四顶点,P6为第六顶点.

以1/2弧P4P6为半径,即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点.

备注一

一个正质数多边形可以用标尺作图的充分和必要条件是,该多边形的边数必定是一个费马质数.换句话说,只有正三边形、正五边形、正十七边形、正257边形和正63357边形可以用尺规作出来,其它的正质数多边形就不可以了.（除非我们再发现另一个费马质数.）

备注二

黎西罗给出了正257边形的尺规作法,写满了整整80页纸.盖尔梅斯给出了正63357边形的尺规作法,此手稿整整装满了一只手提箱,现存于德国哥廷根大学.这是有史以来最繁琐的尺规作图.

备注三

正十七边形的尺规作图存在之证明:

设正17边形中心角为a,则17a=360度,即16a=360度-a

故sin16a=-sina,而

sin16a=2sin8acos8a=2方sin4acos4acos8a=2的4次方sinacosacos2acos4acos8a

因sina不等于0,两边除之有:

16cosacos2acos4acos8a=-1

又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,有

2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1

注意到 cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令

x=cosa+cos2a+cos4a+cos8a

y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a

有:

x+y=-1/2

又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)

=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a)

经计算知xy=-1

又有

x=(-1+根号17)/4,y=(-1-根号17)/4

其次再设:

x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a

y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a

故有x1+x2=(-1+根号17)/4

y1+y2=(-1-根号17)/4

解之可有:

(大家自己解解吧~)

最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2

可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合,

故正17边形可用尺规作出.

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