窗口傅里叶变换基本思想

为了获得关于时间定位的信息，可以用一个具有适当宽度的窗函数从信号中截取一段来作傅氏分析，这样可得到信号在这段时间内的局部频谱。如果再让窗函数沿时间轴不断移动，那么就能够对信号逐段进行频谱分析。这就是1946年D.Gabor提出的窗口傅氏变换WFT（Windowed Fourier Transform）或称短时傅氏变换 STFT（Short-Time Fourier Transform）的基本思想。

模拟信号f（t）∈L2（R）以w（t）作为窗函数的短时傅氏变换定义为

地球物理信息处理基础

式中 ，为了与小波分析所使用的符号一致，本章及下一章均用i表虚数单位；ω和b分别表示频率和时移；w（t）是实函数，下标w说明同一信号对不同窗函数的WFT是不同的。对于某个确定的b值，WFT给出的是信号在局部时间范围内［b-0.5Dt，b+0.5Dt］的频谱信息，这里Dt是w（t）的有效宽度。

令

wω，b（t）=w（t-b）eiωt （6-4）

于是，式（6-3）可写成

地球物理信息处理基础

即信号f（t）关于窗函数w（t）的窗口傅氏变换等于信号与wω，b（t）的内积。

设w（t）、wω，b（t）的傅氏变换分别为用W（η）、Wω，b（η）表示，那么，二者具有如下关系式

地球物理信息处理基础

如图6-1 所示，为 f（t）=sin（πt2）的 WFT，我们选择了海明窗函数（Hamming）为w（t）。当时窗分别采用w（t-2）、w（t-3.5）和w（t-5）时，f（t）w（t-2）、f（t）w（t-3.5）和f（t）w（t-5）都有时域局部化表现，此时（WFTwf）（ω，2）、（WFTwf）（ω，3.5）和（WFTwf）（ω，5）的能量分别集中在［10，30］、［20，40］和［35，55］之间。