2011同心圆梦07卷数学答案

2011届同心圆梦模拟卷数学模拟一答案与解析 1.答案B解析根据题意全集U={-1，0，1，2，3，4，5},可知答案B正确。 2.答案C解析函数的最大值是 ，最小值是0，因此答案为C。 3.答案D解析设点P（x，y），则AP→＝（x-2，y-3）， 又∵AP→＝AB→＋λAC→＝（3,1）+λ（5,7）＝（3+5λ，1+7λ）， ∴（x-2，y-3）＝（3+5λ，1+7λ），即， 又∵点P在第三象限，∴ 解得λ＜-1.故选择答案D. 4.（理）答案C解析因为 ＝(a＋bi)(c－di)c2＋d2＝ac＋bdc2＋d2+bc－adc2＋d2i，所以由题意有bc－adc2＋d2＝0bc－ad＝0. （文）答案B解析∵OB→＝a1 OA→＋a2009OC→，且A、B、C三点***线. ∴a1＋a2009＝1.又{an}是等差数列，∴S2009＝(a1＋a2009)2×2009＝20092.故选B. 5.（理）答案C解析由T400＝S1＋S2＋…＋S400400＝2005， 则S1+S2+…+S400＝2005×400，则9，a1，a2，…，a400的“理想数”＝ 9×401＋S1＋S2＋…＋S400401＝9＋2005×400401＝2009. （文）答案B解析由anan－1an－1－an＝anan＋1an－an＋1可得，2an＝1an－1＋1an＋1，故数列{1an}（n＝2,3,4，…）为等差数列，且首项为12，公差为12，∴1a2009＝12＋2008×12＝20092，∴a2009＝22009. 6.答案C解析由题意得：C461p422＝2027，求得p＝3.故选C. 7.答案A解析由已知可得k=f′（-1）=3×（-1）2+2×（-1）+1=2,又由切点为（-1，2）得其切线方程为y-2=2（x+1）,即y=2x+4.设此直线与抛物线切于点（x0,2px ）,则k=4px0=2,得px0= ,又2x0+4=2px ,解得x0=-4,p=- ,由此可得抛物线的方程为x2=-4y,其过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交得的线段长度为4，故应选A. 8.答案A解析如图易得甲、乙两地所对的球心角为2π3，故球面距离为2π3R. 9.答案A解析∵f（x）是R上的偶函数，它的图象关于直线x＝2对称. ∴f（－x）＝f（x），f（x＋4）＝f（－x）∴f（x）＝f（x＋4）.当x∈[－6，－2]时，x＋4∈[－2,2].则f（x）＝f（x＋4）＝－（x＋4）2＋1，故选A. 10.答案A解析本题主要考查直线的方程，数形结合思想，重要不等式等知识点。注意到直线ax-y+2-2a=0过定点M（2，2），点M（2，2）到直线 及 的距离都是 ，直线 及 的夹角为 ， = （）（OA+OB）= OA.OBsin ,即OA.OB 2（ ） 2 ,即OA.OB 16（4-2 ），因此 OA.OB=16-8 11.（理）答案C解析取DF中点P,AD中点Q,容易证明平面MQP‖平面ABEF，因此N点轨迹为直线PQ,当MN PQ时|MN|取最小值,此时N与Q重合,FN=1,MF= 。 （文）答案C解析当MN PQ时|MN|取最小值,此时N与Q重合,FN=1,MF= 。 12.答案B解析分三类：种两种花有 种种法；种三种花有 种种法；种四种花有 种种法.***有 .另解：按 顺序种花，可分 同色与不同色有 13.解析题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆 的圆心的距离小于或等于半径，∴ 。故应填 14.解析数形结合法： , . 由图象知：1＜k＜3 15.答案0解析依据向量运算的平行四边形法则，集合P、Q中的向量分别表示终点落在图中两条虚线上的所有向量，由于两条虚线所在直线平行，因此P∩Q中元素个数为0. 16.答案令m=1,n=0求得 ， = ，因此建国第60周年GDP总值凯尔比之和为120. 17.解析（1） ， 因此 同下 ， ， ， ， .（5分） （2） , 的增区间为 .（7分） （3） ，， 所以， 因此 是首项为 ，公比为 的等比数列， 故， （9分）猜测 . （10分） 18.解析解法一：（1）证明：连结EP， ∵PD⊥底面ABCD，DE在平面ABCD内，∴PD⊥DE.又CE＝ED，PD＝AD＝BC. ∴Rt△BCE≌Rt△PDE.∴PE＝BE.∵F为PB中点，∴EF⊥PB. 由三垂线定理得PA⊥AB，∴在Rt△PAB中PF＝AF.又PE＝BE＝EA，∴△EFP≌△EFA. ∴EF⊥FA.∵PB、FA为平面PAB内的相交直线，∴EF⊥平面PAB.（6分） （2）解：不妨设BC＝1，则AD＝PD＝1，AB＝2，PA＝2，AC＝3. ∴△PAB为等腰直角三角形，且PB＝2，F为其斜边中点，BF＝1，且AF⊥PB. ∵PB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直，∴PB⊥平面AEF. 连结BE交AC于G，作GH‖BP交EF于H，则GH⊥平面AEF，∠GAH为AC与平面AEF所成的角.由△EGC∽△BGA，可知EG＝12GB，EG＝13EB， AG＝23AC＝233.由△EGH∽△EBF，可知GH＝13BF＝13∴sin∠GAH＝GHAG＝36. ∴AC与平面AEF所成的角为arcsin36.（12分） 解法二：以D为坐标原点，DA的长为单位长，建立如图所示的直角坐标系. （1）证明：设E（a,0,0），其中a>0，则C（2a,0,0），A，（0,1,0），B（2a,1,0），P（0,0,1），F（a，12，12），EF→＝（0，12，12），PB→＝（2a,1，－1），AB→＝（2a,0,0）. ∵EF→PB→＝0，∴EF⊥PB.∵AB→EF→＝0，∴EF⊥AB. 又PB平面PAB，AB平面PAB，PB∩AB＝B，∴EF⊥平面PAB. （6分） （2）解：由AB＝2BC，得a＝22.可得AC→＝（2，－1,0），PB→＝（2，1，－1）， cos〈AC→，PB→〉＝AC→PB→|AC→||PB→|＝36，异面直线AC、PB所成的角为arccos36. AF→＝（22，－12，12），∴AF→PB→＝0，PB⊥AF. 又PB⊥EF，EF、AF为平面AEF内两条相交直线，∴PB⊥平面AEF. AC与平面AEF所成的角为π2－arccos36，即arcsin36.（12分） 19.（理）解析 （1）令 ，由于 因此 ，而 =（2a-2）2+8a=4a2+4>0，因此函数总有两个极值点x1、x2。……4分 （2）由于x1、x2是方程 的两个不等实根，因此x1+x2= ，x1x2= ，因此| |= = = ，解得 或。 （8分） （3）若 ，令g（x）= ,由于-a<0，因此开口向下，函数f（x）在（-1，1）上单调递增只要 ，解得 ； 若，此时g（x）开口向上，而g（-1）=4-3a>0，g（1）=a<0，因此g（x）在（-1，1）内至少存在一个实根，因此函数f（x）在（-1，1）上一定不单调。 综合可得a的取值范围是 。 （12分） （文）由于 ， （1）令 ，即 ，而 =（2a-2）2+8a=4a2+4>0，因此函数总有两个极值点x1、x2。……4分 （2）由于x1、x2是方程 的两个不等实根，因此x1+x2= ，x1x2= ，因此| |= = = ，解得 或。 （8分） （3）若 ，令g（x）= ,由于-a<0，因此开口向下，函数f（x）在（-1，1）上单调递增只要 ，解得 ； 若，此时g（x）开口向上，而g（-1）=4-3a>0，g（1）=a<0，因此g（x）在（-1，1）内至少存在一个实根，因此 函数f（x）在（-1，1）上一定不单调。 综合可得a的取值范围是 。（12分） 20.解析记“甲理论考试合格”为事件 ，“乙理论考试合格”为事件 ，“丙理论考试合格”为事件 ，记为 的对立事件， ；记“甲上机考试合格”为事件 ，“乙上机考试合格”为事件 ，“丙上机考试合格”为事件 。 （1）记“甲计算机考试获得合格证书”为事件A，记“乙计算机考试获得合格证书”为事件B，记“丙计算机考试获得合格证书”为事件C，则，， ，有 ，故乙获得“合格证书”可能性最大；（3分） （2）记“三人该课程考核都合格” 为事件 。 ， 所以，这三人该课程考核都合格的概率为 。 （7分） （3）（理科）用 表示甲、乙、丙三人在理论考核中合格人数，则 可以取0，1，2，3，故 的分布列如下： （10分） 的数学期望： （12分） （文科）记“理论考核中至少有两人合格”为事件 ，记为 的对立事件 解法1： （9分） （12分） 解法2： （9分） 所以，理论考核中至少有两人合格的概率为 。（12分） 21.解析（1）设P（x,y）,则 =（-c-x,-y）（c-x,-y）= = =（1+ ） -（ ），而在双曲线中|x| a,因此 的最小值为（1+ ） -（ ）=- ， 由-3a2 -a2，解得 。 （6分） （2）（理）当e=2时，故曲线C1的方程为 。设B（x0,y0）（ x0,y0>0）,首先考虑特殊情形： ⊥x轴时，x0=c=2a,代入求得 ，而AF2=3a，三角形BF2A为等腰直角三角形，因此λ= ，猜想λ= ；x0≠2a时tan∠BAF2= = , tan∠BF2A= = ，由倍角公式得tan2∠BAF2= = ，而 ，代入可得tan2∠BAF2= ，因此存在λ= 满足条件（12分） （2）（文科）由题设可得双曲线方程为 ，点B（4,3 ），tan∠BAF2= = ,tan∠BF2A= = ，由倍角公式得tan2∠BAF2= = ， 因此∠BAF2= ∠BF2A成立。 22.（理）解析（1）令x1＝x2＝0，则f（0）＝2f（0）－2，∴f（0）＝2.（2分） （2）任取x1，x2∈[0,1]且x1＜x2，则0＜x2－x1≤1， ∴f（x2－x1）≥2.∴f（x2）＝f（x2－x1＋x1）＝f（x2－x1）＋f（x1）－2≥ f（x1），∴f（x）在[0,1]上为增函数，∴f（x）的最大值为f（1）＝3. （5分） （3）∵Sn＝－12（an－3）（n∈N*），∴Sn－1＝－12（an－1－3）（n≥2）， ∴an＝－12an＋12an－1（n≥2），∴an＝13an－1（n≥2），又∵a1＝1≠0，∴anan－1＝13（n≥2）， ∴数列{an}是以1为首项，公比为13的等比数列，∴an＝13n－1. f（an＋1）＝f（13n）＝f（13n＋1+13n＋1+13n＋1）＝3f（13n＋1）－4，∴f（13n＋1）＝13f（13n）+43， ∴f（13n＋1）－2＝13[f（13n）－2]，∴{f（13n）－2}是以f（13）－2为首项，公比为13的等比数列.∴f（13n）－2＝（f（13）－2）（13）n－1，∴f（1）＝f（13+13+13）＝3f（13）－4， ∴f（13）＝73，∴f（13n）－2＝（13）n，即f（13n）＝（13）n+2. ∴f（a1）+f（a2）+…+f（an）＝f（1）+f（13）+f（132）+…+f（13n－1） ＝2+13+2+132+2…+13n－1+2＝（1+13+132+…+13n－1）+2n＝32+2n－123n－1.（12分） （文）解析解法一：设等差数列{an}的首项a1＝a，公差为d，则通项公式为： an＝a+（n－1）d，前n项和为Sn＝na+n(n－1)d2. 依题意有 （4分） 由此可得 整理得 解得 或 （9分） ∴an＝1或an＝4－125（n－1）＝325－125n. 经验证，知an＝1时，S5＝5；an＝325－125n时，S5＝－4均适合题意，故所求等差数列的通项为an＝1，或an＝325－125n. （12分） 解法二：因Sn是等差数列的前n项和，故可设Sn＝an2＋bn（a≠0），依题意得 解得 或 （9分） 则Sn＝n，或Sn＝－65n2＋265n.在等差数列中，an＝Sn－Sn－1， ∴an＝1或an＝325－125n. （12分） 解法三：因Sn是等差数列的前n项和，易知数列 为等差数列，依题意得 解得 或 （9分） 由此得a4＝S4－S3＝1，a5＝S5－S4＝1或a4＝－165，a5＝－285， ∴数列{an}的公差d＝0或－125.则an＝a4+（n－4）×0＝1， 或an＝a4+（n－4）×＝325－125n. （12分） 解法四：由题意S3＝2a2，S4＝2（a2+a3）， S5＝5a3代入 （4分） 整理得 解之，得或 （9分） ∴an＝1或an＝325－125n. （12分）